背理法

背理法とは

背理法は証明のテクニックの一つである。

一般的な証明は、前提を設定し論を進めて、証明したい内容に疑問の余地がないように持っていく。
これに対し、背理法は論を進めるうちに前提が誤りであることを明らかにすることで、前提の正反対が正しいと結論する。

背理法は次のストーリーで話を進める。
証明したい内容と、正反対のことを仮定する。
その仮定を前提として論を展開していくと、やがて矛盾が発生する。
矛盾は前提とした仮定が、そもそも誤りだったことが原因だ。
だから仮定と反対のこと(もともと証明したい内容)が正しいと判断する。

仮定に誤りがあることを明らかにし、仮定の反対が正しいと結論するのが背理法だ。

次のページでは、素数が無限に存在することを背理法で証明する。
証明したいこととは正反対の「素数は有限個である」を前提として論を展開し、「素数は有限個である」は誤りであることを導き出す。
その結果、「素数が無限に存在する」を明らかにするである。

2016/09/14