自由落下運動

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自由落下運動と微分方程式

前ページで自由落下運動の公式をv-tグラフから導出した。
ここでは、を微分方程式で解くことで自由落下運動を解説する。

位置xの2階微分は加速度である。加速度は重力加速度なので、イコールで結べば微分方程式になる。
\[ \frac{ d^2x }{ dt^2} =-g \]

速度vの1階微分が加速度であることから、次式となる。 \[ \frac{ dv }{ dt} =-g \]

この両辺を積分する。 \[ \int dv=-\int gdt \]

積分した結果が以下の式だ。 \[ v=-gt+C \]

積分定数Cは初速度を表している。自由落下なので初速度はゼロだ。 \[ v=-gt \]

こうして、速度を表す式が得られた。

位置xの1階微分は速度である。 \[ v=\frac{ dx }{ dt} \]

これを位置を示す式に代入する。 \[ \frac{ dx }{ dt}=-gt \]

この両辺を積分する。 \[ \int dx=-\int gt dt \]

積分した結果が以下の式だ。 \[ x=-\frac{ 1 }{ 2}gt^2+C \]

積分定数Cは最初の位置を表している。落下の開始位置をゼロとすればCはゼロだ。 \[ x=-\frac{ 1 }{ 2}gt^2 \]

これが微分方程式によって得られた自由落下の位置を示す式である。

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