ボイル・シャルルの法則

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ボイル・シャルルの法則の導出

ボイル・シャルルの法則

気体の圧力と体積の関係がボイルの法則、気体の温度と体積の関係がシャルルの法則であった。
この二つを一つに統合した以下の式がボイル・シャルルの法則だ。
\[ \frac{ P_{ 1 }V_{ 1 } }{ T_{ 1 } }=\frac{ P_{ 2 }V_{ 2 } }{ T_{ 2 } }=\frac{ P_{ 3 }V_{ 3 } }{ T_{ 3 } }=一定 \]

ボイル・シャルルの法則を導出する

前ページまでで、ボイルの法則とシャルルの法則を下図を用いて解説した。
ここでは、ボイルの法則とシャルルの法則からボイル・シャルルの法則の式を導出しよう。

温度をTbに保ったまま、状態を点aから点bに移動させると、ボイルの法則から以下の式となる。 \[ P_{ a }V_{ a }=P_{ b }V_{ b } \]

今度は、圧力をPbに保ったまま、状態を点bから点cに移動させると、シャルルの法則から以下の式となる。 \[ \frac{ V_{ b } }{ T_{ b } }=\frac{V_{ c } }{ T_{ c } } \]

シャルルの法則の式を次のように変形する \[ V_{ b }=\frac{V_{ c } }{ T_{ c } } T_{ b } \]

変形された式を、ボイルの法則の式に代入し、次式を得る。 \[ P_{ a }V_{ a }=P_{ b }\frac{V_{ c } }{ T_{ c } } T_{ b } \]

この式を整理すると次式になる。 \[ \frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ b } } =\frac{P_{ b } V_{ c } }{ T_{ c }} \]

点aでの温度と点bでの温度は等しいため、\(T_{ a }=T_{ b }\)となる。
また点bから点cまでの過程で圧力は一定であるため、\(P_{ b }=P_{ c }\)となる。
これらを代入すると次式となる。
\[ \frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ a } } =\frac{P_{ c } V_{ c } }{ T_{ c }} \]

上記の温度、圧力、体積の関係が同じ値をとるため、これを定数\(Const.\)とおく。 \[ \frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ a } } =\frac{P_{ c } V_{ c } }{ T_{ c }}=Const. \]

これを一般化すると、ボイル・シャルルの法則の式となる。 \[ \frac{PV}{T} =Const. \]

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