ボイル・シャルルの法則

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ボイル・シャルルの法則の導出

ボイル・シャルルの法則

気体の圧力と体積の関係がボイルの法則、気体の温度と体積の関係がシャルルの法則であった。
この二つを一つに統合した以下の式がボイル・シャルルの法則だ。
$$\frac{ P_{ 1 }V_{ 1 } }{ T_{ 1 } }=\frac{ P_{ 2 }V_{ 2 } }{ T_{ 2 } }=\frac{ P_{ 3 }V_{ 3 } }{ T_{ 3 } }=一定$$

ボイル・シャルルの法則を導出する

前ページまでで、ボイルの法則とシャルルの法則を下図を用いて解説した。
ここでは、ボイルの法則とシャルルの法則からボイル・シャルルの法則の式を導出しよう。

温度をTbに保ったまま、状態を点aから点bに移動させると、ボイルの法則から以下の式となる。 $$P_{ a }V_{ a }=P_{ b }V_{ b }$$

今度は、圧力をPbに保ったまま、状態を点bから点cに移動させると、シャルルの法則から以下の式となる。 $$\frac{ V_{ b } }{ T_{ b } }=\frac{V_{ c } }{ T_{ c } }$$

シャルルの法則の式を次のように変形する $$V_{ b }=\frac{V_{ c } }{ T_{ c } } T_{ b }$$

変形された式を、ボイルの法則の式に代入し、次式を得る。 $$P_{ a }V_{ a }=P_{ b }\frac{V_{ c } }{ T_{ c } } T_{ b }$$

この式を整理すると次式になる。 $$\frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ b } } =\frac{P_{ b } V_{ c } }{ T_{ c }}$$

点aでの温度と点bでの温度は等しいため、$T_{ a }=T_{ b }$となる。
また点bから点cまでの過程で圧力は一定であるため、$P_{ b }=P_{ c }$となる。
これらを代入すると次式となる。
$$\frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ a } } =\frac{P_{ c } V_{ c } }{ T_{ c }}$$

上記の温度、圧力、体積の関係が同じ値をとるため、これを定数$Const.$とおく。 $$\frac{P_{ a }V_{ a } }{ T_{ a } } =\frac{P_{ c } V_{ c } }{ T_{ c }}=Const.$$

これを一般化すると、ボイル・シャルルの法則の式となる。 $$\frac{PV}{T} =Const.$$

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