指数・対数

HOME＞ ピンポイント解説＞指数・対数

なぜ0乗が1なのか

0乗が1になる理由

0乗すると1になる。
2の0乗(2⁰)は1、5の0乗(5⁰)も1だ。

0乗が1になることに違和感を持つ人は多い。
数学的には厳密でないかもしれないが、ここでは、0乗すると1になる理由を説明しよう。

2³は以下の式を示している。
\[ 2^{ 3 }=2×2×2 \]

実は、右辺の先頭には1が隠れている(と考える)。
2のn乗(2ⁿ)とは、1に対して2をn回かける操作なのだ。
\[ 2^{ 3 }=1×2×2×2 \] \[ 2^{ 2 }=1×2×2 \] \[ 2^{ 1 }=1×2 \] \[ 2^{ 0 }=1 \]

0乗のときには、2を0回かける(イコールまったく2をかけない)ので、先頭の1だけが残る。
底が2に限らず、5のときも、xやaのときも同じで0乗のときには先頭の1だけが残る。
だから0乗すると答えは1なのだ。

0乗が1だと、公式とも矛盾しない

指数の計算には、次の公式が登場する。 \[ a^{ n }×a^{ m }=a^{ n+m } \]

ここではa=2、n+m=4として計算してみよう。
n+mが4になるように、nとmの組み合わせをいろいろと変えてみる。
\[ 2^{ 3 }×2^{ 1 }=16 \] \[ 2^{ 2 }×2^{ 2 }=16 \] \[ 2^{ 1 }×2^{ 3 }=16 \] \[ 2^{ 0 }×2^{ 4 }=16 \]

2⁰が1になるので、2⁴との積がちゃんと16になるのである。
このように0乗が1だと、指数の公式とも矛盾しないのだ。

■最初のページ：ピンポイント解説：目次

このページのTOPへ