気体分子運動論
気体分子運動論とは
ミクロの分子運動、マクロの気体
空気を入れた風船はパンパンに膨らむ。
これは中の空気の圧力が、風船の壁を内側から押すためだ。
空気を構成する分子の一つ一つは、高速で運動している。
個々の分子の動きは見えないが、無数の分子の運動の重なると、風船のように人が感じる圧力となるのである。
ミクロの分子の運動をもとに、気体のマクロの性質を明らかにするのが、気体分子運動論だ。
一つの分子の運動量\(mv\)から出発し、気体の圧力が\(P=\displaystyle\frac{Nmv^2}{3V}\)であることを導き出す。
気体分子運動論の前提
話をシンプルにするために、気体分子運動論では分子の性質を次のように仮定する。
- 衝突と同じ速さで跳ね返る(弾性衝突)
- 分子の大きさは無視できるほど小さい
- 分子の運動は完全に不規則である
- 分子間力は作用しない
実際の分子のサイズは有限だし、分子間力も影響する。
しかし、そのような話は単純化した理論が気体の分子運動論なのだ。
気体分子運動論の解説
1辺の長さ\(L\)の立方体の容器に、\(N\)個の気体分子が入っている。
まず、この中の一つの分子に注目する。
気体分子の一個の質量は\(m\)だ。
この分子が速度\(v\)で壁に衝突すると、弾性衝突だから\(-v\)で跳ね返される。
衝突後の運動量は\(-mv\)で衝突前は\(mv\)であるから、運動量の変化は\(-2mv\)である。
運動量の変化は力積に等しい。
作用反作用の法則で壁も分子の衝突で等大逆向きの力を受けている。
したがって、壁の受ける力積は\(2mv\)となる。
壁で跳ね返された分子は、反対側の壁でも跳ね返されて戻ってくる。
分子の速度は\(v\)なので、1秒間で分子の移動距離は\(v\)となる。
容器の1辺の長さは\(L\)だから、衝突から同じ壁への次の衝突までの往復距離は\(2L\)となる。
このため、1秒間で分子が衝突する回数は\(\displaystyle\frac{v}{2L}\)、\(t\)秒間なら\(\displaystyle\frac{v}{2L}t\)だ。
分子1個の一回の衝突で壁が受ける力積は\(2mv\)であった。
\(t\)秒間に受ける力積\(ft\)は次の式となる
\[
ft=2mv\frac{v}{2L}t
\]
両辺を整理すると、壁が受ける力\(f\)は次式となる。 \[ f=\frac{mv^2}{L} \]
ここまでは分子1個の話だが、容器内には\(N\)個の分子がある。
\(N\)個の分子が、前後・左右・上下の壁に同じように作用するので、1つの壁への作用は\(\displaystyle\frac{N}{3}\)個の分子と考える。
壁が受ける力\(F\)は次式となる。
\[
F=\frac{mv^2}{L}\frac{N}{3}
\]
力÷面積＝圧力だから、壁の面積\(L^2\)で両辺を割れば壁が受ける圧力となる。 \[ P=\frac{mv^2}{L}\frac{N}{3}\frac{1}{L^2} \]
\(L^3\)は容器の容積だから、これを\(V\)で表現しよう。 \[ P=\frac{Nmv^2}{3V} \]
これが分子の動きから見た、気体の圧力である。
この式から、分子数が多いほど、分子の速度が速いほど圧力が高くなり、容積が大きいほど圧力は低くなることが読み取れる。
次ページでは、圧力の式から分子の運動エネルギーが絶対温度に比例することを導き出す。
■次のページ：分子の運動エネルギー
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2016/10/17