気体分子運動論

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分子の運動エネルギー

気体の運動エネルギーは温度で決まる

前ページで分子の運動量\(mv\)から、気体の圧力が\(P=\displaystyle\frac{Nmv^2}{3V}\)であることを導きだした。
気体分子運動論はこれだけにとどまらない。
ここでは、分子の運動エネルギーが温度によって決まることを導き出そう。

気体分子運動論で、気体の圧力は次式で示される。 \[ P=\frac{Nmv^2}{3V} \]

体積\(V\)を両辺にかけると次式となる。 \[ PV=\frac{1}{3}Nmv^2 \]

上式の右辺を見ると\(mv^2\)が運動エネルギーの形に似ていることに気づくはずだ。
そこで、右辺に\(2×\displaystyle\frac{1}{2}\)をかけてみる。 \[ PV=\frac{2}{3}N \cdot\frac{1}{2}mv^2 \]

\(2×\displaystyle\frac{1}{2}=1\)なので、式全体には影響がないが、右辺に運動エネルギー\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)が現れた。

モル数×アボガドロ数＝分子数だから、\(N=nN_{A}\)となる。これを代入すると次式になる。 \[ PV=\frac{2}{3}nN_{A} \cdot\frac{1}{2}mv^2 \]

ここで、気体の状態方程式\(PV=nRT\)を思い出そう。
左辺が\(PV\)なので、これを代入すると次式となる。 \[ nRT=\frac{2}{3}nN_{A} \cdot\frac{1}{2}mv^2 \]

これを整理すると次式が導かれる。 \[ \frac{1}{2}mv^2=\frac{3R}{2N_{A}}T \]

この式の右辺を見ると\(R\)も\(N_{A}\)も定数だ。
ということは、気体の平均の運動エネルギーは絶対温度\(T\)だけで決まり、絶対温度に比例するのである。

\(T=0\)のとき、左辺の運動エネルギーはゼロになる。
絶対零度(\(T=0\))とは、分子の動きがゼロ、つまり運動エネルギーがゼロになった状態なのである。

気体が熱を得て温度が上昇したとする。
当然、運動エネルギーも大きくなる。
熱と物体内の分子(原子)の運動エネルギーなのだ。

\(R\)も\(N_{A}\)も定数だということが分かったので、これを一つの定数\(k\)として扱うことにする。
定数\(k\)をボルツマン定数という。
\[ k=\frac{R}{N_{A}} \]

ボルツマン定数を使うと、運動エネルギーは以下の式となる。 \[ \frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT \]

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