ドップラー効果

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観測者が動く場合のドップラー効果

ドップラー効果の公式の導出

観測者が動く場合のドップラー効果の例は、電車の乗客が聞く踏切を通過するときの警報音だ。
接近していくときは高く、離れていくときは低く聞こえる。
ここでは、観測者が動く場合のドップラー効果の公式の導出を解説する。

音源から周波数$\nu_{ S }$の音が出ているとする。
周波数は音源で一秒間に発生する波の数だ。
だから、周波数が$\nu_{ S }$なら、一秒間に$\nu_{ S }$個の波が音源から生み出されていることになる。

音速を$V$とすると、音源で発生した音は、一秒間に$V$メートル進むことになる。
速度は一秒間で進む距離だからだ。

以上より、$V$メートルの間に、$\nu_{ S }$個の波が等間隔で並ぶことが分かる。
1メートルあたりの波の数は、$\nu_{ S }/V$個だ。

A地点で観測者が音源の音を聞くとする。
観測者が静止していれば、観測者の耳に入る周波数$\nu_{ O }$は音源の周波数$\nu_{ S }$と等しい。
音源も観測者も動いていないので、ドップラー効果は生じないのだ。

ここから、観測者(音を聞く人)が音源に向かって、音を聞きながら$v_{ O }$の速度で近づいていく。
観測者が1秒間でA地点からB地点に移動したら、その距離は$v_{ O }$だ。

B地点から$V$離れたC地点にあった波は、この一秒間でB地点に達して、観測者の耳に入る。
観測者が移動を始めた瞬間(A地点を離れる瞬間)にC地点にあった波は、1秒後にB地点を通過するし、観測者も1秒後にB地点まで来ているからである。
つまり、1秒前にC地点にあった波とA地点にいた観測者が、1秒経過後にB地点で出会うのだ。

この一秒の間に観測者は音を聞き続けている。
このため、観測者がA地点からB地点に移動する間に、A地点からC地点の間の波がすべて観測者の耳に入ったことになる。
A地点からC地点までの距離は$V+v_{ O }$だ。

最初に述べた通り、音源から出ている音は、１メートルあたり$\nu_{ S }/V$個の波がある。
だからA地点からC地点までの間の波の数は$\displaystyle \frac{ \nu_{ S } }{ V }\times (V+v_{ O })$個だ。

この波のすべてが、１秒の間に聞く人の耳にすべて入るので、観測者が聞く音の周波数とイコールとなる。
したがって聞く人の耳に入る音の周波数$\nu_{ O }$は次式となる。
$$\nu_{ O }=\displaystyle \nu_{ S }\times\frac{ V+v_{ O } }{ V }$$

上式は観測者が音源に近づく場合だが、音源から遠ざかる場合は、移動速度をマイナスにすればいい。
方向が逆だから符号も反対になるのである。
$$\nu_{ O }=\displaystyle \nu_{ S }\times\frac{ V-v_{ O } }{ V }$$

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