ネイピア数

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ネイピア数の定義

ネイピア数の定義の謎

ネイピア数の定義として次の式が示される場合が多い。
しかし、なぜこの式が定義になっているのかを説明している参考書は少ない。
\[ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+\frac{ 1 }{ n })^n=e \]

ネイピア数の定義は対数の微分に由来する。
ここでは、ネイピア数の定義が上記の式になっている理由を解説する。
接線によるネイピア数の定義は次ページで説明する。

対数関数の微分とネイピア数の定義

\(y=\log_{ a } x\)を定義に従って微分すると次式となる。 \[ y'=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{ \log_{ a } (x+h)-\log_{ a } x }{ h } \]

分子を整理したら次式となる。 \[ y'=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{ \log_{ a } (x+h)/ x }{ h } \]

さらに分子を整理し、hをlogの前に移動する。 \[ y'=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{ 1 }{ h }\log_{ a } (1+\frac{ h }{ x }) \]

ここで計算の便宜上、分子と分母に\(x\)をかける。分子と分母に同じ数をかけたのだから、式に影響はない。 \[ y'=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{ 1 }{ x }\frac{ x }{ h }\log_{ a } (1+\frac{ h }{ x }) \]

ここで\(\displaystyle\frac{ x }{ h }=n\)とおく。\(h→0\)のとき\(n→\infty\)となるので次式となる。 \[ y'=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{ 1 }{ x }n\log_{ a } (1+\frac{ 1 }{ n }) \]

今度は\(\displaystyle\frac{ x }{ h }\)をlimの外に移動する。\(n\)をlogの中にもっていく。 \[ y'=\displaystyle\frac{ 1 }{ x } \lim_{n \to \infty }\log_{ a } (1+\frac{ 1 }{ n })^ n \]

\(n→\infty\)のとき、logの中身\(\displaystyle(1+\frac{ 1 }{ n })^ n\)がどうなるかをみてみよう。
nに順次大きな値を代入してみればいい。
試してみると\(2.718281828459045\cdots\)という値に近づくことが分かる。つまり次式となる。
\[ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+\frac{ 1 }{ n })^ n=2.718281828459045\cdots \]

ここでこの値を先ほどの式に代入する。 \[ y'=\displaystyle\frac{ 1 }{ x } \log_{ a } 2.718281828459045\cdots \]

logの中身が長すぎて、扱いが大変なのでこの値を\(e\)とおく。 \[ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+\frac{ 1 }{ n })^ n=e ( =2.718281828459045\cdots) \]

この式は、最初に説明したネイピア数の定義そのものだ。
ネイピア数は対数の微分の過程で登場した値なのだ。
そして\(y=\log_{ a } x\)の微分は以下となる。
\[ y'=\displaystyle\frac{ 1 }{ x } \log_{ a }e \]

このようにネイピア数は対数の微分の過程で登場し定義された定数なのだ。

自然対数とネイピア数

\(\log_{ a } x\)の微分は\(\displaystyle\frac{ 1 }{ x } \log_{ a }e\)となることが分かった。
これは、底\( a\)の値によって、\(\displaystyle\frac{ 1 }{ x }\)の係数が変わることを意味している。

例えば\( a=10\)のとき、係数\(\log_{ a }e\)は0.434294482なので、微分結果は次式となる。
\[ (\log_{ 10 } x)'=\displaystyle\frac{ 1 }{ x } \times0.434294482 \]

このように係数\(\log_{ a }e\)は底\( a\)によってさまざまな値をとる。
ところが、\( a=e\)のとき、係数\(\log_{ a }e\)が1となる。
\[ (\log_{ e } x)'=\displaystyle\frac{ 1 }{ x }\log_{ e }e \]

係数が1になるので、底が\( e\)だと計算が便利になる。
そこで、底が\( e\)の対数を特別扱いして自然対数と命名することにした。

底の値は人間の意志でさまざまな値を選ぶことができる。
しかしネイピア数\(e\)は人為的な数ではなく自然界で不変の値なのだ。
だから自然対数というのである。

円周率\( pi\)は自然界の色々な場面で登場する。
同様にネイピア数\(e\)も自然界で重要な値なのである。

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