順列・組み合わせ

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階乗

階乗とは

順列・組み合わせの計算には、階乗(かいじょう)が登場する。
ここでは、階乗について解説しよう。

階段を下るように、数を小さくしながらかけていく計算を階乗という。
例えば、5の階乗は次のようになる。
\[ 5\times4\times3\times2\times1=120 \]

階乗は!(ビックリマーク)を付けて表現する。
5の階乗は5!となる。
\[ 5!=120 \]

乗とは、かけ算の意味だ。
自分と同じ数をかける計算が自乗(2乗)で、数を小さくしながらかけていく計算が階乗だ。

階乗の計算例

A、B、Cと書かれた3枚のカードを並べるとき、パターンは次の6通りだ。
A、B、C
A、C、B
B、A、C
B、C、A
C、A、B
C、B、A

1枚目のカードは、A、B、Cの3つから選ぶことができる。
2枚目のカードは、2つから選ぶことになる。1枚目でカードを使ってしまったため残りが2枚だからだ。
3枚目のカードは残った1枚を置くしかない。

このため、3枚のカードを並べるときのパターン数(6通り)は、3×2×1で計算することができる。
3×2×1は、まさに3の階乗(3!)だ。

A、B、C、Dの4枚のカードを並べるときのパターン数は、4の階乗で計算できる。
この場合は24通りだ。
\[ 4!=24 \]

同様にn枚のカードや、n名の人を並べるときのパターン数は、\(n!\)となる。

0(ゼロ)の階乗

0(ゼロ)の階乗は1と定義されている。
\[ 0!=1 \]

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