順列・組み合わせ

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順列の公式と計算

順列の公式

袋の中に6個のボール(A〜F)が入っている。

この袋からボールを一つずつ取り出し並べていく。

最初に取り出されるボールは、6個のうちのどれかだ。つまり選ばれ方は6通りだ。
そして、1のボールを取り出したことで、袋の中にあるボールは5つになる。

2番目に取り出されるボールの選ばれ方は5通りだ。
袋の中の5つから選ばれるからだ。
そして、2番目のボールが取り出されたことで、袋の中にあるボールは4つになる。

3番目に取り出されるボールの選ばれ方は4通りだ。

4番目のボールの選ばれ方は3通り、5番目のボールは2通りとなり、6番目のボールは袋の中の最後の1個だから1通りとなる。

このため6個のボールを袋からすべて取り出し、並べるパターンはつぎの計算で720通りとなる。
6×5×4×3×2×1=720

またこの計算は階乗で表せば簡単だ。
\[ 6!=720 \]

今度は、6個のボールから3個を取り出して並べるパターン数を求めてみよう。
これは、6個から3個を取り出す順列\({}_6 \mathrm{ P }_3\)だ。

最初に取り出されるボールの選ばれ方は6通りだ。
2番目に取り出されるボールの選ばれ方は5通り、3番目のボールは4通りとなる。

このため6個のボールから3個を取り出して並べるパターン数(順列\({}_6 \mathrm{ P }_3\))は、つぎの計算で120通りとなる。
6×5×4=120

ここから、順列の計算は、階乗の計算の後半を省略すればいいことがわかる。

この例では6!の前半部分(6×5×4)だけを計算し、後半部分(3×2×1)を省略している。 後半部分(3×2×1)をよく見ると、これは3の階乗(3!)だ。 6個から3個を取り出す順列\({}_6 \mathrm{ P }_3\)は、6!を3!で割ったことになる。 \[ {}_6 \mathrm{ P }_3=\displaystyle \frac{ 6! }{ 3! } \]

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