単振り子

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単振り子の周期

単振り子が一往復する時間を周期という。

単振り子は常に原点に向かう力(向心力)を持ち、向心力は両端で最大になる。
反対に原点を通過するときの向心力はゼロだ。
向心力\(F\) を表現したのが、次式(1)である。
\[ F=-m \frac{ g }{ l }x・・・・・・・(1) \]

これを単振動の向心力の式(次式(2))と比較すると、式の形が似ていることが分かる
\[ F=-m \omega^2x・・・・・・・(2) \]

単振動も単振り子も、(向心力\(F\) )=(比例定数)×(位置\(x\) )の構造になっている。
向心力は原点からの距離に比例して大きくなり、両端で最大となるのだ。
そして比例定数にマイナスが付くことから、向心力は常に原点を向いていることが分かる。

そこで、式(1)と式(2)の比例定数部分を等しいとすると、次式(3)となる。
\[ -m \frac{ g }{ l }=-m \omega^2・・・・・・・(3) \]

これを整理し変形すると、次式(4)のように単振り子の角速度\(\omega\) が導かれる。
\[ \omega=\sqrt{ \frac{ g }{ l }} ・・・・・・・(4) \]

周期\(T\) は一周360度を回るのに必要な時間だから、一周360度(2\(\pi\))を周期\(T\) で割れば、単位時間あたりの角度の変化(角速度\(\omega\))となる。それを表したのが次式(5)だ。
\[ \omega=\frac{ 2 \pi }{ T}・・・・・・・(5) \]

式(5)に式(4)を代入すると、単振り子の周期\(T\)を示す次式(6)となる。
\[ T=2 \pi\sqrt{ \frac{ l }{ g }} ・・・・・・・(6) \]

周期\(T\) 示す式(6)の中に振幅(振れ幅)は含まれていない。
これは、単振り子の周期は振れ幅には関係なく、振れ幅が大きくても小さくても、一往復する時間(周期)は変わらないことを意味している。
これを振り子の等時性という。周期\(T\) は振れ幅とは無関係に一定なのだ。

さらにこの式には質量も含まれていない。
周期\(T\) はおもりが重くても軽くても、質量とは無関係に一定なのである。
単振り子の周期\(T\) を変えるのは糸の長さ\(l\)を変えるしかないのだ。

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