エネルギーの原理

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エネルギーの原理の導出

エネルギーの原理は以下の式で示される。




運動エネルギーの差(運動エネルギーの増加分)は、与えられた仕事に等しいのだ。

ここではエネルギーの原理の導出を解説する。
導出は等加速度運動の式から出発する。

物体が位置\(x_{ 0 }\) から\(x \) へ移動し、速度が\(v_{ 0 } \) から\(v \) に変化した。
このときの加速度を\(a \) とすれば、等加速度運動は次の式になる。
\[ v^2-v_{ 0 }^2=2a(x-x_{ 0 }) \]

この物体の質量\(m\) を、両辺にかけると次の式になる。 \[ mv^2-mv_{ 0 }^2=2ma(x-x_{ 0 }) \]

両辺に\(\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }\)をかけると次の式になる。 \[ \frac{ 1 }{ 2 }mv^2-\frac{ 1 }{ 2 }mv_{ 0 }^2=ma(x-x_{ 0 }) \] この式をよく見ると、左辺に運動エネルギーの形が登場したことが分かる。

右辺の\(F=ma\)に、運動方程式\(F=ma\)を代入すると、次の式になる。 \[ \frac{ 1 }{ 2 }mv^2-\frac{ 1 }{ 2 }mv_{ 0 }^2=F(x-x_{ 0 }) \]

右辺の\(x-x_{ 0 } \)は位置の変化だから、これを移動距離\(s \)と置く。すると次の式になる。 \[ \frac{ 1 }{ 2 }mv^2-\frac{ 1 }{ 2 }mv_{ 0 }^2=Fs \]

この式の右辺に力と移動距離の積が登場した。
力と移動距離の積は仕事である。右辺は仕事を示しているのだ。

一方の左辺は物体の、運動エネルギーの変化を表している。

物体が位置\(x_{ 0 }\) から\(x \) 移動するときに、右辺の仕事を得て物体の運動エネルギーが増えたのだ。

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